Раскрытие скобок: правила и примеры (7 класс)
Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений . Например, в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Однако если мы имеем дело с алгебраическим выражением , содержащим переменную — например таким: \(2(x-3)\) – то вычислить значение в скобке не получается, мешает переменная. Поэтому в таком случае скобки «раскрывают», используя для этого соответствующие правила.
Правила раскрытия скобок
Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. Иначе говоря:
Здесь нужно пояснить, что в математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не \(+7+3\), а просто \(7+3\), несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение \((5+x)\) – знайте, что перед скобкой стоит плюс, который не пишут.
Пример. Раскройте скобку \((1+y-7x)\).
Решение: \((1+y-7x)=1+y-7x\).
Пример. Упростите выражение: \(3+(5-2x)\).
Решение: Раскрываем скобку согласно правилу, а затем приводим подобные слагаемые :
Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые: \((x-11)+(2+3x)\).
Решение: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).
Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:
Здесь нужно пояснить, что у \(a\), пока оно стояло в скобке, был знак плюс (просто его не писали), и после снятия скобки этот плюс поменялся на минус.
Пример: Упростите выражение \(2x-(-7+x)\).
Решение: внутри скобки два слагаемых: \(-7\) и \(x\), а перед скобкой минус. Значит, знаки поменяются – и семерка теперь будет с плюсом, а икс – с минусом. Раскрываем скобку и приводим подобные слагаемые .
Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть:
Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение: В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) — напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей.
Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение: Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).
Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.
При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:
Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение: У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку — каждый ее член умножаем на скобку вторую:
Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
— сначала первое…
Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:
Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.
Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\) . Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\) . А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\) . Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.
Скобка в скобке
Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).
Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
— внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
— раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.
При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение, просто переписывая его как есть.
Давайте для примера разберем написанное выше задание.
Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:
Выполнять задание начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относиться – это сама скобка и минус перед ней (выделено зеленым). Всё остальное (не выделенное) переписываем также как было.
Теперь раскрываем вторую скобку, внешнюю.
Упрощаем получившееся выражение…
Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение:
Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается.
Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке.
Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него.
И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные.
Раскрытие скобок — это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.
Руководство Google по стилю в C++. Часть 10
Часть 1. Вступление
…
Часть 9. Комментарии
Часть 10. Форматирование
Часть 11. Исключения из правил 
Эта статья является переводом части руководства Google по стилю в C++ на русский язык.
Исходная статья (fork на github), обновляемый перевод.
Форматирование
Стиль кодирования и форматирования являются вещью произвольной, однако проект намного легче управляется, если все следуют одному стилю. Хотя кто-то может не соглашаться со всеми правилами (или пользоваться тем, чем привыкли), очень важно чтобы все следовали единым правилам, чтобы легко читать и понимать чужой код.
Для корректного форматирования мы создали файл настроек для emacs.
Длина строк
Желательно ограничивать длину строк кода 80-ю символами.
Это правило немного спорное, однако масса уже существющего кода придерживается этого принципа, и мы также поддерживаем его.
За
Приверженцы правила утверждают, что строки длиннее не нужны, а постоянно подгонять размеры окон утомительно. Кроме того, некоторые размещают окна с кодом рядом друг с другом и не могут произвольно увеличивать ширину окон. При этом ширина в 80 символов — исторический стандарт, зачем его менять.
Другая сторона утверждает, что длинные строки могут улучшить читабельность кода. 80 символов — пережиток мейнфреймов 1960-х. Современные экраны вполне могут показывать более длинные строки.
80 символов — максимум.
Строка может превышать предел в 80 символов если:
- комментарий при разделении потеряет в понятности или лёгкости копирования. Например, комментарий с примером команды или URL-ссылкой, длиннее 80 символов.
- строковый литерал/имя, длиной более 80 символов. Исключением является тестовый код, который желательно размещать в начале файла.
- выражения с include.
- Блокировка от повторного включения
- using декларации
Не-ASCII символы
Не-ASCII символы следует использоваться как можно реже, кодировка должна быть UTF-8.
Вы не должны хардкодить строки для показа пользователю (даже английские), поэтому Не-ASCII символы должны быть редкостью. Однако, в ряде случаев допустимо включать такие слова в код. Например, если код парсит файлы данных (с неанглийской кодировкой), возможно включать в код национальные слова-разделители. В более общем случае, код юнит-тестов может содержать национальные строки. В этих случаях следует использовать кодировку UTF-8, т.к. она понятна большинству утилит (которые понимают не только ASCII).
Кодировка hex также допустима, особенно если она улучшает читабельность. Например, «\xEF\xBB\xBF» или u8″\uFEFF» — неразрывный пробел нулевой длины в Юникоде, и который не должен отображаться в правильном UTF-8 тексте.
Используйте префикс u8 чтобы литералы вида \uXXXX кодировались в UTF-8. Не используйте его для строк, содержащих не-ASCII символы уже закодированные в UTF-8 — можете получить корявый текст если компилятор не распознает исходный код как UTF-8.
Избегайте использования символов C++11 char16_t и char32_t т.к. они нужны для не-UTF-8 строк. По тем же причинам не используйте wchar_t (кроме случаев работы с Windows API, использующий wchar_t).
Пробелы против Табуляции
Используйте только пробелы для отступов. 2 пробела на один отступ.
Мы используем пробелы для отступов. Не используйте табуляцию в своём коде — настройте свой редактор на вставку пробелов при нажатии клавиши Tab.
Объявления и определения функций
Старайтесь размещать тип возвращаемого значения, имя функции и её параметры на одной строке (если всё умещается). Разбейте слишком длинный список параметров на строки также как аргументы в вызове функции.
Пример правильного оформления функции:
В случае если одной строки мало:
или, если первый параметр также не помещается:
- Выбирайте хорошие имена для параметров.
- Имя параметра можно опустить, если он не используется в определении функции.
- Если тип возвращаемого значения и имя функции не помещаются в одной строке, тип оставьте на одной строке, имя функции перенесите на следующую. В этом случае не делайте дополнительный отступ перед именем функции.
- Открывающая круглая скобка всегда находится на одной строке с именем функции.
- Не вставляйте пробелы между именем функции и открывающей круглой скобкой.
- Не вставляйте пробелы между круглыми скобками и параметрами.
- Открывающая фигурная скобка всегда в конце последней строки определения. Не переносите её на новую строку.
- Закрывающая фигурная скобка располагается либо на отдельной строке, либо на той же строке, где и открывающая скобка.
- Между закрывающей круглой скобкой и открывающей фигурной скобкой должен быть пробел.
- Старайтесь выравнивать все параметры.
- Стандартный отступ — 2 пробела.
- При переносе параметров на другую строку используйте отступ 4 пробела.
Неиспользуемый параметры с неочевидным контекстом следует закомментировать в определении функции:
Атрибуты и макросы старайтесь использовать в начале обьявления или определения функции,
до типа возвращаемого значения:
Лямбды
Форматируйте параметры и тело выражения аналогично обычной функции, список захватываемых переменных — как обычный список.
Для захвата переменных по ссылке не ставьте пробел между амперсандом (&) и именем переменной.
Короткие лямбды можно использовать напрямую как аргумент функции.
Числа с плавающей запятой
Числа с плавающей запятой всегда должны быть с десятичной точкой и числами по обе стороны от неё (даже в случае экспоненциальной нотации). Такой подход улучшить читабельность: все числа с плавающей запятой будут в одинаковом формате, не спутаешь с целым числом, и символы E e экспоненциальной нотации не примешь за шестнадцатеричные цифры. Помните, что число в экспоненциальной нотации не является целым числом.
Вызов функции
Следует либо писать весь вызов функции одной строкой, либо размещать аргументы на новой строке. И отступ может быть либо по первому аргументу, либо 4 пробела. Старайтесь минимизировать количество строк, размещайте по несколько аргументов на каждой строке.
Формат вызова функции:
Если аргументы не помещаются в одной строке, то разделяем их на несколько строк и каждая следующая строка выравнивается на первый аргумент. Не добавляйте пробелы между круглыми скобками и аргументами:
Допускается размещать аргументы на нескольких строках с отступом в 4 пробела:
Старайтесь размещать по несколько аргументов в строке, уменьшая количество строк на вызов функции (если это не ухудшает читабельность). Некоторые считают, что форматирование строго по одному аргументу в строке более читабельно и облегчает редактирование аргументов. Однако, мы ориентируемся прежде всего на читателей кода (не редактирование), поэтому предлагаем ряд подходов для улучшения читабельность.
Если несколько аргементов в одной строке ухудшают читабельность (из-за сложности или запутанности выражений), попробуйте создать для аргументов «говорящие» переменные:
Или разместите сложный аргумент на отдельной строке и добавьте поясняющий комментарий:
Если в вызове функции ещё есть аргументы, которые желательно разместить на отдельной строке — размещайте. Решение должно основываться улучшении читабельность кода.
Иногда аргументы формируют структуру. В этом случае форматируйте аргументы согласно требуемой структуре:
Форматирование списка инициализации
Форматируйте список инициализации аналогично вызову функции.
Если список в скобках следует за именем (например, имя типа или переменной), форматируйте <> как будто это вызов функции с этим именем. Даже если имени нет, считайте что оно есть, только пустое.
Условия
Старайтесь не вставлять пробелы с внутренней стороны скобок. Размещайте if и else на разных строках.
Есть два подхода к форматированию условий. Один допускает пробелы между скобками и условием, другой — нет.
Предпочтительный вариант без пробелов. Другой вариант также допустим, но будьте последовательны. Если вы модифицируйте существующий код — используйте формат, который уже есть в коде. Если вы пишете новый код — используйте формат как у файлов, находящихся в той же директории или используйте формат проекта. Если не уверены — не добавляйте пробелы.
Если используется формат с пробелами:
Заметьте, что в любом случае должен быть пробел между if и открывающей скобкой. Также нужен пробел между закрывающей скобкой и фигурной скобкой (если она есть).
Короткие условия можно записать в одну строку, если это улучшит читабельность. Используйте этот вариант только если строка короткая и условие не содержит секцию else.
Не используйте сокращённый вариант, если есть секция else:
Обычно фигурные скобки не требуются для короткого условия, однако они допустимы. Также сложные условия или код лучше читаются при наличии фигурных скобок. Часто требуют, чтобы любой if был со скобками.
И если одна часть условия использует фигурные скобки, вторую также оформляйте с ними:
Циклы и switch-и
Конструкция switch может использовать скобки для блоков. Описывайте нетривиальные переходы между вариантами. Скобки необязательны для циклов с одним выражением. Пустой цикл должен использовать либо пустое тело в скобках или continue.
Блоки case в switch могут как быть с фигурными скобками, так быть и без них (на ваш выбор). Если же скобки используются, используйте формат, описанный ниже.
Рекомендуется в switch делать секцию default. Это необязательно в случае использования перечисления, да и компилятор может выдать предупреждение если обработаны не все значения. Если секция default не должна выполняться, тогда формируйте это как ошибку. Например:
Переход с одной метки на следующую должен быть помечен макросом ABSL_FALLTHROUGH_INTENDED; (определён в absl/base/macros.h).
Размещайте ABSL_FALLTHROUGH_INTENDED; в точке, где будет переход. Исключение из этого правила — последовательные метки без кода, в этом случае помечать ничего не нужно.
Скобки являются опциональными для циклов с одной операцией.
Пустой цикл должен быть оформлен либо как пара скобок, либо как continue без скобок. Не используйте одиночную точку с запятой.
Указатели и ссылки
Вокруг ‘.’ и ‘->’ не ставьте пробелы. Оператор разыменования или взятия адреса должен быть без пробелов.
Ниже приведены примеры правильного форматирования выражений с указателями и ссылками:
- ‘.’ и ‘->’ используются без пробелов.
- Операторы * или & не отделяются пробелами.
Старайтесь использовать единый стиль в файле кода, при модификации существующего файла применяйте используемое форматирование.
Допускается объявлять несколько переменных одним выражением. Однако не используйте множественное объявление с указателями или ссылками — это может быть неправильно понято.
Логические выражения
Если логическое выражение очень длинное (превышает типовое значение), используйте единый подход к разбивке выражения на строки.
Например, здесь при переносе оператор AND располагается в конце строки:
Отметим, что разбиение кода (согласно примеру) производится так, чтобы && и оператор AND завершали строку. Такой стиль чаще используется с коде Google, хотя расположение операторов в начале строки тоже допустимо. Также, можете добавлять дополнительные скобки для улучшения читабельности. Учтите, что использование операторов в виде пунктуации (такие как && и
) более предпочтительно, что использование операторов в виде слов and и compl.
Возвращаемые значения
Не заключайте простые выражения return в скобки.
Используйте скобки в return expr; только если бы вы использовали их в выражении вида x = expr;.
Инициализация переменных и массивов
Что использовать: =, () или
<> — это ваш выбор.
Вы можете выбирать между вариантами =,
() и <>. Следующие примеры кода корректны:
Будьте внимательны при использовании списка инициализации для типа, у которого есть конструктор с std::initializer_list.
Компилятор предпочтёт использовать конструктор std::initializer_list при наличии списка в фигурных скобках. Заметьте, что пустые фигурные скобки <> — это особый случай и будет вызван конструктор по-умолчанию (если он доступен). Для явного использования конструктора без std::initializer_list применяйте круглые скобки вместо фигурных.
Также конструирование с фигурными скобками запрещает ряд преобразований целых типов (преобразования с уменьшением точности). И можно получить ошибки компиляции.
Директивы препроцессора
Знак # (признак директивы препроцессора) должен быть в начале строки.
Даже если директива препроцессора относится к вложенному коду, директивы пишутся с начала строки.
Форматирование классов
Размещайте секции в следующем порядке: public, protected и private. Отступ — один пробел.
Ниже описан базовый формат для класса (за исключением комментариев, см. описание Комментирование класса):
- Имя базового класса пишется в той же строке, что и имя наследуемого класса (конечно, с учётом ограничения в 80 символов).
- Ключевые слова public:, protected:, и private: должны быть с отступом в 1 пробел.
- Перед каждым из этих ключевых слов должна быть пустая строка (за исключением первого упоминания). Также в маленьких классах пустые строки можно опустить.
- Не добавляйте пустую строку после этих ключевых слов.
- Секция public должна быть первой, за ней protected и в конце секция private.
- См. Порядок объявления для выстраивания деклараций в каждой из этих секций.
Списки инициализации конструктора
Списки инициализации конструктора могут быть как в одну строку, так и на нескольких строках с 4-х пробельным отступом.
Ниже представлены правильные форматы для списков инициализации:
Форматирование пространств имён
Содержимое в пространстве имён пишется без отступа.
Пространство имён не добавляет отступов. Например:
Не делайте отступов в пространстве имён:
При объявлении вложенных пространств имён, размещайте каждое объявление на отдельной строке.
Горизонтальная разбивка
Используйте горизонтальную разбивку в зависимости от ситуации. Никогда не добавляйте пробелы в конец строки.
Общие принципы
Добавление разделительных пробелов может мешать при слиянии кода. Поэтому: Не добавляйте разделительных пробелов в существующий код. Вы можете удалить пробелы, если уже модифицировали эту строку. Или сделайте это отдельной операцией (предпочтительно, чтобы с этим кодом при этом никто не работал).
Циклы и условия
Операторы
Шаблоны и приведение типов
Вертикальная разбивка
Сведите к минимуму вертикальное разбиение.
Это больше принцип, нежели правило: не добавляйте пустых строк без особой надобности. В частности, ставьте не больше 1-2 пустых строк между функциями, не начинайте функцию с пустой строки, не заканчивайте функцию пустой строкой, и старайтесь поменьше использовать пустые строки. Пустая строка в блоке кода должна работать как параграф в романе: визуально разделять две идеи.
Базовый принцип: чем больше кода поместится на одном экране, тем легче его понять и отследить последовательность выполнения. Используйте пустую строку исключительно с целью визуально разделить эту последовательность.
Раскрытие скобок
В задачах по математике постоянно встречаются числовые и буквенные выражения, а также выражения с переменными, которые составлены с использованием скобок.
Основная функция скобок — менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений.
Часто можно перейти от одного выражения со скобками к тождественно равному выражению без скобок. Например:
- 2(3 + 4) = 2 * 3 + 2 * 4.
Такой переход от выражения со скобками к тождественно равному выражению без скобок несет в себе основную идею о раскрытии скобок.
Начальное выражение со скобками и результат, полученный после раскрытия скобок, удобно записывать в виде равенства, как мы это сделали в предыдущем примере.
В школе тему раскрытия скобок обычно подходят в 6 классе. На этом этапе раскрытие скобок воспринимают, как избавление от скобок, которые указывают порядок выполнения действий. И изучают раскрытие скобок на примерах выражений, которые содержат:
- знаки плюс или минус перед скобками, которые заключают сумму или разность, например, (a + 7) и -(-3 + 2a — 12 — b);
- произведение числа, одной или нескольких букв и суммы или разности в скобках, например, 3(2 — 7), (3 — a + 8c)(-b) или -2a(b + 2c — 3m).
Раскрытие скобок также можно рассматривать шире.
Раскрытием скобок можно назвать переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению без скобок. Например:
- 5 + (-3) — (-7) = 5 — 3 + 7.
Или, если в описанных выше выражениях вместо чисел и переменных могут быть любые выражения. В полученных таким способом выражениях тоже можно проводить раскрытие скобок. Например:
Раскрытие скобок — это избавление от скобок, которые указывают порядок выполнения действий, а также избавление от скобок, в которые заключены отдельные числа и выражения.
Важно отметить еще один момент, который касается особенностей записи решения при раскрытии скобок. При раскрытии скобок в громоздких выражениях можно прописывать промежуточные результаты в виде цепочки равенств. Например, вот так:
- 5 — (3 — (2 — 1)) = 5 — (3 — 2 + 1) = 5 — 3 + 2 — 1
Первое правило раскрытия скобок
- 8 + (−9 + 3)
Это выражение равно двум. А теперь раскроем скобки, то есть избавимся от них. Мы ожидаем, что после избавления от скобок значение выражения 8 + (−9 + 3) также должно быть равно 2.
Первое правило раскрытия скобок
Если перед скобками стоит знак плюс — все числа, которые стоят внутри скобок, сохраняют свой знак.
Формула раскрытия скобок
Мы видим что в выражении 8 + (−9 + 3) перед скобками стоит плюс. Значит плюс нужно опустить вместе со скобками. То, что было в скобках — запишем без изменений, вот так:
Так мы получили выражение без скобок 8 − 9 + 3. Снова получаем в результате вычисления два.
- 8 + (−9 + 3) = 2
- 8 − 9 + 3 = 2
Поэтому между выражениями 8 + (−9 + 3) и 8 − 9 + 3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
- 8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
- 2 = 2
Потренируемся применять правило на примерах.
Пример 1. Раскрыть скобки в выражении 8 + (−3 − 1)
Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опустим вместе со скобками. А то, что было в скобках оставим без изменений:
- 8 + (−3 − 1) = 8 − 3 − 1
Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 6 + (−2)
Перед скобками стоит плюс, значит применим то же правило:
- 6 + (−2) = 6 − 2
Раскрытие скобок в предыдущих пример выглядит, как обратная операция замены вычитания сложением.
В выражении 6 − 2 происходит вычитание, но его можно заменить сложением. Тогда получится выражение 6 + (−2). Но если в выражении 6 + (−2) раскрыть скобки, то получится снова 6 − 2.
Поэтому первое правило раскрытия скобок можно использовать для упрощения выражений после любых других преобразований.
Идем дальше. Теперь упростим выражение 2a + a − 5b + b.
Чтобы упростить такое выражение, нужно привести подобные слагаемые. Для этого нужно сложить коэффициенты подобных слагаемых и результат умножить на общую буквенную часть:
- 2a + a — 5b + b = 2a + a + (-5b) + b = (2 + 1) * a + (-5 + 1) * b = 3a + (-4b)
Получили выражение 3a + (−4b). Раскроем скобки. Перед скобками стоит плюс, поэтому используем первое правило раскрытия скобок: опустим скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками.
- 3a + (−4b) = 3a − 4b
Таким образом, выражение 2a + a − 5b + b упрощается до 3a − 4b.
После открытия одних скобок, по пути можно найти другие. К ним применяем те же правила, что и к первым. Например, раскроем скобки в таком выражении:
- 2 + (−3 + 1) + 3 + (−6)
Здесь нужно раскрыть скобки в двух местах. Снова применяем первое правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед:
- 2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
Пример 3. Раскрыть скобки 6 + (−3) + (−2)
В обоих местах перед скобками стоит плюс. Применяем первое правило раскрытия скобок:
- 6 + (−3) + (−2) = 6 − 3 − 2
Можно встретить такой пример, когда первое слагаемое в скобках записано без знака. Например, в выражении 1 + (2 + 3 − 4) первое слагаемое в скобках 2 записано без знака. Какой знак будет стоять перед двойкой после того, как скобки и плюс, стоящий перед скобками опустятся? Ответ интуитивно понятен — перед двойкой будет стоять плюс.
Дело в том, что даже в скобках перед двойкой стоит плюс, просто мы его не видим так как плюс не принято записывать. Полная запись положительных чисел выглядит так: +1, +2, +3, но плюсы по традиции не записывают, поэтому положительные числа мы всегда видим в таком виде: 1, 2, 3.
Поэтому, чтобы раскрыть скобки в выражении 1 + (2 + 3 − 4), нужно как обычно опустить скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками, но первое слагаемое которое было в скобках записать со знаком плюс:
- 1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
Пример 4. Раскрыть скобки в выражении (−7)
Перед скобками стоит плюс, но мы его не видим так как до него нет других чисел или выражений. Убираем скобки, применив первое правило раскрытия скобок:
- (−7) = −7
Пример 5. Раскрыть скобки 9a + (−5b + 6c) + 2a + (−2d)
Видим два места, где нужно раскрыть скобки. В обоих участках перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишем без изменений:
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Второе правило раскрытия скобок
Здесь рассмотрим второе правило раскрытия скобок. Звучит так:
Второе правило раскрытия скобок
Если перед скобками стоит знак минус — все числа, которые стоят внутри скобок, меняют свой знак на противоположный.
Формула раскрытия скобок
Например, раскроем скобки в выражении 5 − (−2 − 3)
Видим, что перед скобками стоит минус. Значит нужно применить второе правило раскрытия, а именно опустить скобки вместе с минусом, который стоит перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, поменяют свой знак на противоположный:
Так мы получили выражение без скобок 5 + 2 + 3. Это выражение равно десяти, как и предыдущее выражение со скобками было равно 10.
- 5 − (−2 − 3) = 10
- 5 + 2 + 3 = 10
Поэтому между выражениями 5 − (−2 − 3) и 5 + 2 + 3 можно поставить знак равенства так как они равны одному и тому же значению:
- 5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
- 10 = 10
Пример 1. Раскрыть скобки в выражении 18 − (−1 − 5)
Перед скобками стоит минус, поэтому применим второе правило раскрытия скобок:
18 − (−1 − 5) = 18 + 1 + 5
Пример 2. Раскрыть скобки −(−6 + 7)
Перед скобками стоит минус, поэтому применим второе правило раскрытия скобок:
Пример 3. Раскрыть скобки −(−7 − 4) + 15 + (−6 − 2)
Здесь мы видим два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае применим второе правило раскрытия скобок, а во втором — первое правило:
−(−7 − 4) + 15 + (−6 − 2) = 7 + 4 + 15 − 6 − 2
Пример 4. Раскрыть скобки в выражении a − (3b + 3) + 10
Перед скобками стоит минус, поэтому применим второе правило раскрытия скобок:
a − (3b + 3) + 10 = a − 3b − 3 + 10
Другие правила раскрытия скобок
Правило раскрытия скобок при делении
Если после скобок стоит знак деления — каждое число внутри скобок делится на делитель, который стоит после скобок.
Формула раскрытия скобок
(a + b) : c = a/c + b/c.
Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые.
Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.
Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x + 2) : 2/3. Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число:
- (x + 2) : 2/3 = (x + 2) * 3/2.
Далее умножим скобку на число:
- (x + 2) * 3/2 = x * 3/2 + 2 * 3/2.
Правило раскрытия скобок при умножении:
Если перед скобками стоит знак умножения — каждое число, которое стоит внутри скобок, нужно умножить на множитель перед скобками.
Формула раскрытия скобок
Пример 1. Раскрыть скобки 5(3 − x)
В скобке у нас стоят 3 и −x, а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки нужно умножить на 5:
Знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей.
Пример 2. Упростить выражение: 5(x + y) − 2(x − y)
Как решаем: 5(x + y) − 2(x − y) = 5x + 5y − 2x + 2y = 3x + 7y.
Таблица с формулами раскрытия скобок
Эти таблицы с правилами раскрытия скобок можно распечатать и обращаться к ним, когда возникнут сомнения в ходе решения задачки.
Правила раскрытия круглых скобок вида (-a), в которых находится одночлен
Правила раскрытия круглых скобок, в которых находится многочлен
Скобки убирают, знаки всех слагаемых в скобках не меняют, если:
- перед скобкой стоит знак плюс:
a + (b — c + d) = a + b — c + d
- выражение начинается со скобки и перед ней нет знака:
Скобки убирают, знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные, если:
- перед скобкой стоит знак минус:
a — (b — c + d) = a — b + c — d
- выражение начинается с минуса перед скобкой:
-(a + b — c) + d = -a — b + c + d
Раскрытие круглых скобок при умножении одночлена на многочлен
a + b(c + d — f + e) = a + bc + bd — bf + be
a + b(c + d — f + e) = a + bc + bd — bf + be
-a(b + c — d) + f = -ab — ac + ad + f
Раскрытие круглых скобок при умножении многочлена на многочлен
(a + b)(c — d) = a(c — d) + b(c — d) = ac — ad + bc — bd
(-a + b)(c + d) = -a(c + d) + b(c + d)= -ac — ad + bc + bd
Раскрытие круглых скобок при возведении многочлена в степень
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)= a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
Скобка в скобке
В 7 классе на алгебре можно встретить задачи со скобками, которые вложены внутрь других скобок. Вот пример такого задания:
- упростить выражение 7x + 2(5 − (3 x + y)).
Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
- внимательно разобраться со скобками — какая в какой находится.
- раскрывать скобки последовательно, начиная с самой внутренней.
При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение и просто переписывать его, как есть. Разберем подробнее тот же самый пример.
Пример 1. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые 7x + 2(5 − (3x + y))
Начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относится – это сама скобка и минус перед ней. Всё остальное переписываем также как было.
- 7x + 2(5 − (3x + y)) = 7x + 2(5 − 3 x − y).
Теперь раскроем вторую скобку, внешнюю:
- 7x + 2(5 − (3x + y)) = 7x + 2(5 − 3 x − y) = 7 x + 2 * 5 − 2 * 3 x − 2 * y.
Упростим получившееся выражение:
- 7x + 2(5 − (3x + y)) = 7x + 2(5 − 3 x − y) = 7 x + 2 * 5 − 2 * 3 x − 2 * y = 7x + 10 − 6x − 2y.
- 7x + 10 − 6x − 2y = x + 10 − 2y
Порядок раскрытия скобок
Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида. То есть в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.
Порядок раскрытия скобок согласован с порядком выполнения действий:
- возвести многочлены в скобках в натуральную степень;
- слева направо провести умножение и деление;
- когда в скобках останутся только слагаемые, раскрыть скобки и привести подобные.
Пример 1. Раскрыть скобки и упростить выражение:
-(2a + 5b) + (3a — 2b + 1) — (2a + 4) = -2a — 5b + 3a — 2b + 1 — 2a — 4 = (-2a + 3a — 2a) + (-5b — 2b) + (1 — 4) = -a — 7b — 3
Пример 2. Доказать, что при любых значениях переменной a значение выражения 3(2a — 7) — (a + (5a — 4)) — отрицательно.
33(2a — 7) — (a + (5a — 4)) = 3(2a — 7 ) — (a + 5a — 4)= 6a — 21 — a — 5a + 4 = (6a — a — 5a) + (-21 + 4) = -16/p>
Значение выражения не зависит от переменной и всегда отрицательно. Что и требовалось доказать.
Задачи для самостоятельного решения
На алгебре в 6 и 7 классе придется решать задачки с раскрытием скобок много и часто. Поэтому лучше запомнить правила и практиковаться уже сейчас.
Задание 1. Раскройте скобки в выражении: 2 + (6 + 3) + 2 — (1 + 1)
Задание 2. Раскройте скобки в выражении: — 21 + 14 + (-1 + 5) — 11 + ( 3 + 2)
Задание 3. Раскройте скобки в выражении: 3 * (-4m + 3n — 5)
Задание 4. Раскройте скобки в выражении: -(12a — 5b — 2)